定积分不等式的证明方法 定积分常用不等式

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定积分不等式的证明方法 定积分常用不等式篇一

我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证

.分析

这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明 构造函数数图象可知，在区间

并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函

上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图1 即，因为，所以.所以

.例2 求证

.证明 构造函数

而函数在，又，上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

2即，所以.例3 证明。

证明 构造函数可知，在区间 上，因，又其函数是凹函数，由图

3个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图3

即

.所以

.二、型

例4 若，求证:.证明 不等式链的左边是通项为前项之和，中间的的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前列的通项不等式

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.图4

例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数处的切线方程为

（ⅰ）用表示出 ；

.的图象在点（ⅱ）若 在内恒成立，求的取值范围；

（ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（ⅲ）不等式数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和，则当的时，此式适合，故只要证当 时，即，也就是要证

.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即

.图

5而，所以，故原不等式成立.点评 本解法另辟蹊径，挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义，通过构造函数利用定积分的几何意义来解决问题，解法虽然综合性强，但由于数形结合解法直观便于操作.积分法是在新课标下证明不等式的一个新方法新亮点，很值得品味.由例4例5可知，要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题，这样才能化繁为简、化难为易，

定积分不等式的证明方法 定积分常用不等式篇二

含有定积分的不等式的几种典型证法

徐娟娟

（天水师范学院数学系 甘肃 天水 741000）

摘要:本文阐述并总结了定积分不等式的几种证明方法.关键词:定积分;拉格朗日公式;莱布尼茨公式;泰勒公式.0引言

高等数学中定积分不等式的证明,难度比较大,涉及的知识面广,技巧性比较强,但又十分的重要.因而它是学习高等数学的重点和难点.本文结合例题总结了定积分不等式证明的几种方法,加深对定积分不等式证明的理解.1利用定积分的性质及其换元法

例题1.1 设函数在区间上连续且单调递减,证明：当时,.证明当或时,不等式显然成立.令， 则.又因为,当时，由题设可知,根据定积分性质可得,即.原题得证.利用定积分的定义,把代换成,再取极限.已知被积函数仅具有连续的条件.例题2已知在上连续,对任意的都有.证明:.证明因为所以构造辅助函数法

当已知被积函数连续,并未告知可导时,此法比较简单.证明思路: 1）将积分上限（或下限）换成,式中相应字母亦换成, 移项使一端为,另一端作为辅助函数.2）由单调性得证.例题设函数在区间上连续且单调递减,证明:当时,.证明: 构造辅助函数

则有.因为,所以,又单调递减,所以.于是.即单调递增,故,即.原题得证.例题设在上连续且严格增,证明.因为

又在连续,故在上严格递减,而,故即

().3拉格朗日公式法

该方法一般适用于被积函数一阶可导且或的情形.思路1）用;

2）用定积分的性质对不等式适当放缩.例题设在上有一阶连续导数,且,证明

定积分不等式的证明方法 定积分常用不等式篇三

探讨定积分不等式的证明方法

摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。

关键词：定积分

不等式

证法

不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。

1．运用定积分中值定理证明

定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。

例1：设f(x)在[0,1]上连续且单调不增，证明a∈[0,1]有

a0f(x)dx≥af(x)dx．

01证明：由原不等式变形得即是要证：(1a)a0f(x)dx≥a（f(x)dxf(x)dx)，0010a1a0f(x)dx≥af(x)dx, 对左式，f(x)在[0,1]上连续，故a由定积分中值定理知：

10，a使

（1a)f(x)dxa(1a)f(1), 0同理对右式：2a，1使a0f(x)dxa(1a)f(2)，1显然，1＜2又f(x)在[0,1]上单调不增，∴f(1)≥f(2)故原不等式a0f(x)dx≥af(x)dx成立.01定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。2．运用辅助函数证明

构造辅助函数f(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求f’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。

例2：设f(x)在[a，b]上连续,且f(x)>0.试证：baf(x)dxba1dx(ba)2 f(x)xxaa证明：构造辅助函数f(x)f(t)dt则f(x)f(x)a

='x1dt(xa)2（将b换成x），f(t)11xdtf(t)dt2(xa)af(t)f(x)xaxf(t)xf(x)dtdt2dt

aaf(t)f(x)f(x)f(t)2)dt

=a(f(t)f(x)xf(x)f(t)20，∵f(x)＞0，∴

f(t)f(x)'又a

0，∴f(b)f(a)0，baf(x)dxba1dx(ba)2． f(x)该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。这种方法开门见山、直截了当。3．运用定积分的性质和几何意义证明

与定积分的概念相联系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上积分的几何直观使得不等式的证明变得更加简捷。

例３：证明不等式13sinxdx．

ex(1x2)12esinx1，两端积分得：

ex(1x2)e(1x2)证明：因为1x3时

31sinx131dxx221e(1x)e1x12e

a1例４：设a,b1时，证明不等式abe证明：blnblnxdxb1，e1ba1blnb．

a10exdx1，根据定积分的几何意义知：

（a1)blnxdx1ba10exdxblnbea1b，a1abeblnb.即本题关键在于深刻领悟定积分概念的由来，即求曲边梯形的面积问题推导的四个步骤：分割、取点、作和与求极限，这里充分运用了“近似代替”的几何直观来加以证明。

4．运用拉格朗日中值定理证明

利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先要构造满足中值定理条件的函数和区间，然后进行不等式放缩，再用定积分比较定理、估值定理或函数的绝对值不等式等。

m，f(a)0，例5：设f(x)在[a,b]上可导，且f'(x）试证：abf(x)dxm(ba)2.2证明：由题设x[a,b]，f(x)在[a，b]上都满足拉氏中值定理的条件，于是有：

f(x)f(x)f(a)f'()(xa)，(a,x)，m，∵f'(x）∴f(x)m(xa)两边在[a，b]上定积分得：

bamf(x)dxm(ba)dx(ba)2.a2b此题运用拉格朗日中值定理简直如行云流水，如果采用其他办法显然比较繁琐。

5．运用taylor公式证明

当已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导且又知最高阶导数的符号时，通常采用泰勒展开式来证明。首先要写出f(x)的泰勒展开式，然后根据题意写出某些点的泰勒展开式，再进行适当的放缩以变成不等式，最后用定积分的性质进行处理。

例6：设f(x)在[a,b]上单调增加，且f“(x)＞0，证明

(ba)f(a)＜abf(a)f(b)f(x)dx＜(ba)

2证明：先证左不等号：(ba)f(a)＜

baf(x)dx，x[a,b]，x＞a，f(x)单调增加，所以f(x)＞f(a)

故baf(x)dx＞(ba)f(a)„（1）再证右不等号：baf(x)dx＜(ba)f(a)f(b)，2t[a,b]，f(t)在点x处的taylor展式为：

f(t)f(x)f'(x)(tx)因

1f”()(tx)2,其中在t与x之间，2!f"()＞0，f(t)＞f(x)f'(x)(tx)，所以将tb,ta分别代入上式并相加得：

f(a)f(b)＞2f(x)(ab)f'(x)2xf(x)，将此式在[a,b]上积分得：

f(a)f(b)(ba)＞2af(x)dx(ab)af'(x)dx2axf(x)dx，有2[f(a)f(b)](ba)＞4故

bbbbaf(x)dx，baf(a)f(b)f(x)dx＜(ba)„（2）

2综合（1）、（2），公式的应用在大学数学的学习中是一个绝对的难点，往往很难掌握。一个题目在你用其他方式很难解决时，taylor公式常会给你意想不到的突破。

6．运用柯西—斯瓦兹不等式证明 柯西—斯瓦兹不等式：

例7：设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数且f(1)f(0)1，试证：0[f'(x)]dx1.证明：∵f(1)f(0)1210f'(x)dx，又f(1)f(0)1，所以0f'(x)dx1，因f(x)在[0,1]上可导，所以f(x)在[0,1]上连续，2dx[f'(x)]dx(f'(x)dx)1，由柯西—斯瓦兹不等式得：00011211即是0[f'(x)]dx1.柯西—斯瓦兹不等式是大学数学中的又一难点，虽然记忆起来并不困难，但应用是灵活多变的。

7．运用重积分证明

重积分要化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之定积分的乘积往往又可以化为重积分，将定积分不等式的证明化为重积分不等式来证明，也是一种常见的方法。

例8：设f(x)是在[0，1]上单调增加的连续函数，12试证：xf0101xf(x)dx23(x)dx13101f3(x)dxf(x)dx122.1102ixf(x)dxf(x)dxf(x)dxxf证明：设(x)dx

00003232xf(x)f(y)dxdyf(x)f(y)ydxdy

=dd3

=ddf3(x)f2(y)(xy)dxdy„（1）

23if(x)f(y)(yx)dxdy„（2）同样

232i(xy)f(x)f(y)(f(x)f(y))dxdy，（1）+（2）可得d由于f(x)在[0，1]上单调增加，故(x∴i1y)(f(x)f(y))0，131000，从而0xfxf(x)dx2313(x)dxf(x)dxf(x)dxxf2(x)dx

012即xf010(x)dx101f3(x)dxf(x)dx2

0总的来说，证明不等式是一门艺术，它具有自己独到的技术手法。在此，我研究了上述7种方法来证明不等式，使一些复杂不等式的证明变得更加简洁，也会使一些不等式的证明变得一题多解。

定积分不等式的证明方法 定积分常用不等式篇四

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数)

或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)

已知正整数，求证

.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造函数

数图象可知，在区间并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

1即，因为，所以.所以

.例2求证

.证明构造函数而函数

在，又，上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和

小于曲边梯形的面积，图

2即，所以

.例3证明。

证明构造函数知，在区间

上，因，又其函数是凹函数，由图3可

个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

3即

.所以

.二、型

例4若，求证:.证明不等式链的左边是通项为前

项之和，中间的的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前

列的通项不等式

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间

上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两

个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.图

4例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数

处的切线方程为的图象在点

.（ⅰ）用表示出（ⅱ）若；

在内恒成立，求的取值范围；

（ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（ⅲ）不等式

列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和，则当的数时，此式适合，故只要证当

时，即，也就是要证

.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面

积，即

.图5

而

故原不等式成立.，所以，

定积分不等式的证明方法 定积分常用不等式篇五

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数型，求证例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题已知正整数

.分析 这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明 构造函数知，在区间 并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函数图象可上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图1

即，因为，所以.所以.例2 求证

.证明 构造函数而函数在和小于曲边梯形的面积，又，上的个矩形的面积之

上是凹函数，由图象知，在区间

图

2即，所以

.例

3证明。

证明

构造函数区间 上，因，又其函数是凹函数，由图3可知，在个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图3 即

.所以

.二、型

例4 若，求证:.证明 不等式链的左边是通项为项之和，中间的通项不等式的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的前时这三个数列的可当作是某数列的前

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数处的切线方程为（ⅰ）用表示出（ⅱ）若； 在内恒成立，求的取值范围；.的图象在点（ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明

（ⅲ）不等式项之和，我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和，此式适合即，左边是通项为，则当，故只要证当的数列的前时，时，也就是要证

由此构造函数积，即，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面

.图5

而立.，所以，故原不等式成